Введение

Почти все важные для современной практики дифференциальные уравнения, описывающие физические явления, не интегрируются аналитически. Поэтому для их решения прибегают к приближенным методам интегрирования, которые условно делят на аналитические и численные. Рассмотрим их основные принципы на примере метода малого параметра и метода разложения в ряд Тейлора.

Пусть нам необходимо решить уравнение при условии x(0) = x₀. Здесь x — искомое решение; t — независимая переменная, а — некоторый малый параметр, причем такой, что при = 0 уравнение имеет аналитическое решение, выраженное через элементарные функции.

Именно это решение выбирается в качестве опорного в аналитических методах, а приближенное решение представляется в виде усеченного ряда по степеням :

где p — порядок точности решения, а x_i — неизвестные коэффициенты, которые определяются путем подстановки в дифференциальное уравнение степенного ряда и уравнивания коэффициентов при одинаковых степенях . При этом конструкция решения не зависит от начального условия, т.е. решение можно рассматривать как общее. Известно, что оно будет пригодным на временном интервале порядка . Впрочем, эти замечательные особенности аналитического решения дискредитируются существенными недостатками, которые уже в настоящее время не могут быть не приняты во внимание.

Обязательным условием для получения аналитического приближенного решения является наличие хорошего опорного, которое бы обеспечивало малость возмущений . Однако это не всегда возможно, как, например, в задачах астероидной динамики. Кроме того, для обеспечения достаточно высокой точности приближенного решения требуется большой порядок аппроксимации, что существенно усложняет решение. Именно эти недостатки становятся главной причиной, почему в современной практике все чаще прибегают к численной альтернативе в решении дифференциальных уравнений.

В методе разложения в ряд Тейлора в качестве опорного выступает начальное x₀, а решение представляется в виде усеченного степенного ряда по t:

где p — порядок метода, а x_i — коэффициенты ряда Тейлора. Несмотря на то, что численное решение пригодно лишь для малых t, эта трудность разрешается путем пошагового интегрирования: большой интервал времени делится на малые подынтервалы (шаги), на которых последовательно шаг за шагом определяются приближенные решения, при этом на каждом следующем шаге в качестве опорного выбирается решение предыдущего шага.

Отсюда главное достоинство численных методов состоит в том, что с их помощью почти всегда можно получить решение дифференциальных уравнений. Кроме того, методическая точность может быть повышена не только увеличением порядка аппроксимирующей формулы, но и уменьшением шага интегрирования. В связи с этим численное решение на шаге может быть довольно простым. Хотя необходимо заметить, что вследствие пошагового интегрирования компьютерная реализация каждого численного метода дает только частное решение.