6. Геометрические методы

В последнее время в динамической астрономии возрос интерес к так называемым геометрическим численным методам интегрирования. Учитывая геометрические свойства дифференциальных уравнений, а точнее, их решений, эти методы позволяют качественно улучшить результаты численного интегрирования, в особенности, если оно выполняется на длительных (космогонических) интервалах времени.

Напомним сначала, что канонической системой уравнений называется система вида

(6.1)

где x и y — канонические m-мерные векторы, a g = g(x, y) — гамильтониан, который при этом является интегралом канонической системы: g(x, y) = const. Отметим важное для нас свойство канонической системы: преобразование временного сдвига

(6.2)

является симплектическим (каноническим). Действительно, ведь новые переменные также удовлетворяют системе (6.1).

Кроме того, заметим, что все рассматриваемые нами дифференциальные уравнения обратимы по времени. Это означает, что выполненные последовательно прямое и обратное интегрирования задачи Коши с одним и тем же шагом h дают ее начальные условия

(6.3)