6.1. Уравнения гармонического осциллятора

Рассмотрим уравнение гармонического осциллятора

(6.4)

которое представимо в виде системы уравнений первого порядка

(6.5)

Отметим важные свойства системы (6.5): 1) она имеет интеграл

(6.6)

2) система канонична с гамильтонианом g и, наконец, 3) она обратима по времени.

Таким образом, для интегрирования системы (6.5) целесообразно применять такие методы, которые бы учитывали названные свойства системы. Поскольку эти свойства тем или иным образом связаны с геометрией решений системы, то методы интегрирования, учитывающие хотя бы одно из них, обычно называют геометрическими.

Интересно заметить, что свойства 1)−3) характерны для многих дифференциальных уравнений небесной механики. В частности, уравнения кеплеровского движения (относительно центральной массы с гравитационным параметром ) представимы в виде

и они обратимы по времени.