6.4.4. Симплектические и симметрические методы высоких порядков

Составные методы. Интересный способ построения симплектических и симметрических методов высоких порядков — это последовательное использование на шаге простых схем интегрирования. Подобным образом мы уже получили методы Штермера − Верлета, а также симметрические методы средней точки и трапеций.

Особого внимания достойны составные методы Йошиды. Х. Йошида показал, что если симметрический метод имеет порядок p = 2q а некоторые константы удовлетворяют условиям

(6.22)

то составной метод

(6.23)

является симметрическим и имеет порядок p = 2q + 2. Таким образом, это позволяет получить составные методы любого четного порядка. Допустим, мы имеем симметрический метод второго порядка , например, средней точки или Штермера − Верлета. Тогда согласно (6.22) и (6.23) получаем метод четвертого порядка

Применяя (6.23) , получаем метод шестого порядка с соответствующими коэффициентами и т.д. Очевидно, если исходный метод симплектический (например, Штермера − Верлета), то и составной метод, построенный на его основе, также будет симплектическим.

Заметим, что очередное повышение порядка по схеме (6.23) утраивает применение исходного метода , так что в составном методе порядка p = 2q число использования исходного метода будет равно . Например, s = 27 уже при порядке p = 8. В связи с этим для методов высоких порядков возникает проблема уменьшения числа s при сохранении порядка. Разрешая эту проблему, У. Кахану и Р. Ли (1997) удалось получить составной симметрический метод восьмого порядка (отличный от метода Йошиды) с числом s = 17.

Отметим очевидные свойства составных методов вида

такие как: 1) методу передаются свойства симметричности либо симплектичности метода Φ; 2) если метод Φ сохраняет какой-либо инвариант системы уравнений, то и составной метод также будет сохранять этот инвариант.

Методы Гаусса. В 1988 г. И.М. Санц − Серна и Ф.М. Ласани обнаружили, что если коэффициенты неявного метода Рунге − Кутты удовлетворяют условиям

(6.24)

то метод является симплектическим. Нетрудно убедиться, что согласно (6.24) среди одноэтапных методов Рунге − Кутты симплектическим будет только метод средней точки с коэффициентами . В общем случае условиям (6.24), оказывается, удовлетворяют методы Гаусса − Лежандра (см. разд. 3.9), которые, кроме того, являются симметрическими.

Многошаговые методы. Эффективными геометрическими методами высоких порядков среди многошаговых являются симметрические методы Куинлэна − Тремейна, которые применяются для интегрирования уравнений второго порядка и имеют вид

где . Авторы получили методы вплоть до 14-го порядка и продемонстрировали их высокую эффективность на примере планетной задачи.