Информация о курсе

I. Организационно-методический раздел

Электронный образовательный ресурс (ЭОР) "Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)" предназначен для подготовки специалистов по специальности "Астрономия" направление "Физика".

Содержимым ЭОР является текстовый, графический и анимационный материал, реализующий теоретический курс лекций по современным численным методам интегрирования ОДУ в астрономии. Изложение теоретического материала адаптировано для специальности "Астрономия". В ЭОР излагаются основные принципы построения широко используемых на практике численных методов, предназначенных для решения ОДУ, описывающих астрономические явления. Рассматриваются такие методы как: явные и неявные методы Рунге − Кутты, коллокационные методы, экстраполяционный метод Грэгга, линейные многошаговые методы, а также геометрические симметричные и симплектические методы.

Цель курса

Ознакомить студентов с широко используемыми в астрономической практике численными методами интегрирования ОДУ, а также выработать навыки в компьютерной реализации методов для исследования астрономических явлений, описываемых ОДУ.

Требования к уровню освоения курса

В результате освоения курса студент должен иметь представление об основных современных численных методах интегрирования ОДУ в астрономии, знать принципы их построения, уметь использовать для исследования астрономических явлений, описываемых ОДУ.

II. Принципы построения курса

Основу курса составляет электронное учебное пособие, предназначенное для самостоятельного изучения теоретического материала, проработки примеров решения практических задач. Для усиления наглядности, улучшения восприятия и запоминания информации в пособие включены рисунки и анимации. Текстовый материал курса снабжен перекрестными гиперссылками, материал разбит на 2 уровня (основной и дополнительный). Темы материала сопровождаются контрольными вопросами и заданиями для самостоятельного решения.

III. Методические рекомендации к основным темам курса

1. Общие методические рекомендации

Рекомендуется изучать курс в той последовательности, которая обозначена в содержании. Контрольные вопросы и практические задания рекомендуется выполнять непосредственно после изучения определенной темы.

2. Распределение часов курса по темам и видам работ

3. Темы и краткое содержание

1. Введение. Терминология. Излагаются основные принципы в реализации численных и аналитических методов интегрирования ОДУ, а также указываются достоинства и недостатки методов. Дается терминология, используемая в курсе.

2. Метод разложения в ряд Тейлора. Представляется старейший метод интегрирования ОДУ, а также его модификация, предложенная Стеффенсеном для интегрирования ОДУ орбитального движения.

3. Методы Рунге − Кутты. Излагаются основные принципы построения методов Рунге − Кутты. Представлен первый метод Рунге. Дается общий вид методов Рунге − Кутты второго порядка. Выводятся условия второго порядка. Дается общее определения явных и неявных методов Рунге − Кутты. Излагаются способы оценивания локальной ошибки и алгоритмы выбора шага интегрирования. Рассматриваются вложенные методы Рунге − Кутты. Определяется оптимальная пара порядок-шаг интегрирования уравнений орбитальной динамики при реализации методов Рунге − Кутты в компьютерной арифметике с заданной точностью. Излагаются принципы построения коллокационных методов, а также методов типа Бутчера. Рассматривается широко используемый в небесной механике интегратор Гаусса − Эверхарта. Исследуются методы Рунге − Кутты низких порядков на предмет абсолютной устойчивости.

4. Экстраполяционные методы. Излагаются основные принципы построения экстраполяционных методов на основе схемы Эйткена − Невилла. Рассматривается широко используемый в небесной механике метод Грэгга.

5. Многошаговые методы. Выводятся формулы для решения ОДУ, основанные на интегрировании (метод Адамса) и дифференцировании полиномиальной интерполяции Ньютона, применяемой для приближенного представления правой части ОДУ и самого решения соответственно. Излагается теория линейных многошаговых методов. Выводятся условия порядка для многошаговых методов. Рассматривается вопрос об устойчивости схем многошагового интегрирования.

6. Геометрические методы. Строятся методы, учитывающие геометрические свойства решений ОДУ. В качестве таких методов рассматриваются проекционный метод Накози, а также симметричные и симплектические методы.

4. Темы практических занятий

Соответствуют темам теоретического материала.

5. Перечень контрольных вопросов по курсу

5.1. Основные контрольные вопросы

 Дать определение понятию:

1. ОДУ;

2. Решение ОДУ;

3. Начальное условие ОДУ;

4. Задача Коши;

5. Условие Липшица;

6. Порядок метода интегрирования;

7. Погрешность метода;

8. Главный член погрешности;

9. Шаг интегрирования;

10. Явная и неявная схемы Эйлера;

11. Правило средней точки;

12. Условия порядка метода;

13. Формула Хойна;

14. Классический метод Рунге − Кутты;

15. Локальная и глобальная погрешности;

16. Перенесенная погрешность;

17. Сходимость метода;

18. Правило Рунге;

19. Стадия (этап) метода Рунге − Кутты;

20. Метод трапеций;

21. Разбиение Гаусса;

22. А-устойчивость метода Рунге − Кутты;

23. Функция устойчивости;

24. Жесткие ОДУ;

25. Симметричный метод интегрирования;

26. Одношаговый и многошаговый методы;

27. Схема предиктор-корректор;

28. Условие согласованности;

29. D-устойчивость многошаговых методов;

30. Канонические ОДУ;

31. Гамильтониан и интеграл ОДУ;

32. Обратимость по времени;

33. Производящая функция;

34. Смежный метод Рунге − Кутты.

5.2. Дополнительные контрольные вопросы

1. Метод простых итераций;

2. Квадратурная формула Гаусса;

3. Числа Стирлинга;

4. Теорема Виета;

5. Числа арифметического треугольника;

6. Жорданова каноническая форма матрицы;

7. Интерполяционная схема Эйткена − Невилла;

8. Последовательность чисел Ромберга;

9. Гармоническая последовательность чисел;

10. Скобки Пуассона.

6. Литература

1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. − М.: Мир, 1990.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. − М.: Наука, 1973.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. − М.: Бином, 2004.

4. Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits // Cel. Mech. − 1974. Vol. 10. P. 35−55.

5. Butcher J. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. − John Wiley & Sons, 2003.

6. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric Numerical Integration Structure−Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics. Berlin: Springer, 2002. − Vol. 31.

7. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. − М.: Высшая школа, 2001.

8. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. − М.: Изд−во МГУ, 1990.

IV. Методические рекомендации по изучению курса

Курс представляет собой текстовый, графический и анимационный материал. В материале определены гиперссылки — (перекрестные ссылки на участки основного материала).

Разделы курса (см. рабочую программу курса) сопровождены материалами для самоконтроля в виде

1) основных контрольных вопросов;

2) дополнительных контрольных вопросов.

При изучении курса рекомендуется

— соблюдать график изучения курса, установленный преподавателем;

— для подготовки для различных видов аттестации использовать материалы для самоконтроля.

Для работы с курсом необходимо подключиться по сети Internet к ресурсу, опубликованному на сайте ТГУ (http://www.tsu.ru, http://ido.tsu.ru/).

V. Методические рекомендации для организации занятий по изучению курса

Для организации занятий студентов по изучению курса преподавателю рекомендуется:

— изучить рабочую программу курса и методические указания по изучению курса;

— ознакомиться с курсом;

— ознакомить студентов с методическими указаниями по изучению курса;

— определить график изучения курса (см. пример в рабочей программе курса); требовать от студентов соблюдения графика при изучения курса;

— определить вид и условия аттестации студентов по материалу курса, с использованием контрольных вопросов.

VI. Авторы

Авдюшев Виктор Анатольевич — к.ф.−м.н., ст.н.с. НИИ ПММ ТГУ, доцент кафедры астрономии и космической геодезии ФФ ТГУ