ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

5.2 Метод вращений Якоби

Поскольку рассматриваемая матрица A симметрична и положительно определена, она удовлетворяет равенству

где — матрицы, составленные соответственно из собственных чисел и собственных векторов. Действительно, для полной системы собственных пар имеем

Эту систему равенств можно записать как . Отсюда

Здесь используется свойства матриц, составленных из ортонормированных векторов: .

Таким образом, перед нами встает проблема реализовать хотя бы приближенно равенство (5.8), которое позволило бы нам найти сразу все собственные числа и соотвествующие им собственные вектора. Это оказывается возможным при последовательном применении к матрице A так называемых матриц вращения Якоби T_ij, что приводит к построению последовательности матриц

где A₀ = A и

Здесь матрица вращения T_ij получается из единичной матрицы путем замены двух единиц и двух нулей на пересечениях i и j строк и столбцов числами c и ±s, такими что

Условие нормировки (5.10) позволяет интерпретировать числа c и s как косинус и синус некоторого угла φ. Следовательно, умножение матрицы T_ij на любой n-мерный вектор будет соотвествовать преобразованию его вращения на угол φ в плоскости, определяемой парой базисных векторов e_i и e_j.

Матрица Якоби T_ij в схеме (5.9) определяется таким образом, чтобы в матрице A_k обнулялся максимальный по модулю элемент . Следуя этой стратегии, в пределе мы получим диаго¬нальную матрицу . Метод получения системы собственных значений с применением преобразований вращения называется методом вращений Якоби.

Займемся поиском чисел c и s. Рассмотрим первую итерацию схемы (5.9) в виде

Заметим, что матрицы вращения в (5.11) преобразуют лишь i и j строки и столбцы матрицы A. Для нахождения чисел c и s рассмотрим двумерные подматрицы матриц A, B и T_ij:

Они, очевидно, удовлетворяют равенству типа (5.11):

Отсюда после перемножения матриц видим, что , если

или, пользуясь тригонометрической интерпретацией чисел c и s, получаем

Из этой формулы можно получить искомые числа как

В то же время диагональные элементы матрицы Ã будут

Далее уже нетрудно получить внедиагональные элементы матрицы B:

Остальные элементы матрицы B совпадают с соответствующими элементами матрицы A.

Таким образом, каждое следующее приближение A_k+1 определяется по алгоритму: 1) сначала нахо¬дится максимальный по модулю внедиагональный элемент матрицы A_k; 2) затем по формулам (5.12)-(5.14) вычисляется матрица A_k+1, где под обозначениями a и b выступают элементы матриц A_k и A_k+1 соответственно. Причем здесь предполагается, что .

Ортогональная матрица L находится последовательно совместно с итерационной схемой (5.9) как

Нетрудно видеть, что умножение матрицы L_k на матрицу вращения справа приводит к преобразованию только i и j столбцов L_k по формулам: