3.2. Методы Рунге − Кутты второго порядка

Методы Рунге − Кутты второго порядка имеют общий вид

(3.10)

или

(3.11)

где — постоянные, подлежащие определению. Нетрудно видеть, что схема Рунге (3.6) есть частный случай (3.11).

Определим постоянные схемы интегрирования так, чтобы она имела второй порядок. Разложим (3.10) в ряд

и сравним с разложением точного решения

Следовательно, чтобы схема интегрирования имела второй порядок, постоянные должны удовлетворять уравнениям

(3.12)

Система уравнений (3.12) дает однопараметрическое семейство решений, которое можно представить в виде

где — свободный параметр.

Например, при α = 1/2 имеем формулу Хойна

(3.13)

Это явная формула, в которой требуются два вычисления функции f на шаге.