3.6. Вложенные методы Рунге − Кутты

Вложенные методы Рунге − Кутты основаны на ином способе оценки локальной погрешности для выбора переменного шага. Их идея состоит в том, чтобы вместо использования экстраполяции Ричардсона построить такие формулы Рунге − Кутты, которые бы кроме основного решения x₁ содержали выражения для вспомогательного решения более высокого порядка. Тогда по последнему можно было бы оценить погрешность x₁.

Следует заметить, что для алгоритма выбора переменного шага можно использовать решение более низкого порядка и по величине его погрешности относительно основного решения x₁ выбирать шаг интегрирования. Хотя тогда мы не будем иметь информацию о точности основного решения x₁.

Вложенные методы Рунге − Кутты имеют табличный вид

(3.31)

В схеме интегрирования основное решение

имеет порядок p, тогда как вспомогательное

— порядок q = p + 1 (либо q = p − 1). При этом ошибка основного решения (либо вспомогательного) оценивается как , что дает хорошую оценку главного члена методической погрешности (2.5). Вложенные методы обычно называют по фамилии автора с указанием порядков основной и вспомогательной схем p (q). На практике широко используются вложенные методы Мерсона, Инглэнда, Фельдберга, а также Дормана − Принса. В качестве примера приведем схему Мерсона 4 (5):

(3.32)