4.2. Алгоритм Эйткена − Невилла

При p = 1 (метод Эйлера) формулы (4.2) и (4.4) приводят к классической задаче интерполяции. В этом случае для упрощения вычислений интерполяционного многочлена удобно использовать так называемую схему Эйткена − Невилла.

Пусть — интерполяционный многочлен порядка m − n с узлами интерполяции для некоторой функции , в частности . Тогда справедливы равенства

(4.5)

где — интерполяционный многочлен уже порядка m − n + 1 на сетке . Фактически, вычисление многочлена а сетке сводится к последовательному вычислению с помощью (4.5) элементов таблицы

(4.6)

Для экстраполяции нам нужна будет формула (4.5) при h = 0:

(4.7)

Переобозначим элементы таблицы (4.6) и представим ее как

(4.8)

Тогда в новых обозначениях формула Эйткена − Невилла (4.7) перепишется в виде

(4.9)

Из (4.9) получаем расчетную формулу для нашей интерполяции

(4.10)

где вычисляются по схеме метода Эйлера

В итоге будем иметь экстраполированное решение порядка s.

В (4.10) для получения узловых значений в качестве последовательности (4.3) обычно используют

либо