5.5. Порядок многошаговых методов

Многошаговый метод (5.8) имеет порядок p, если невязка , которая получается после подстановки точного решения в (5.8), является величиной порядка , т.е.

(5.9)

Разложим решения в ряд Тейлора:

(5.10)

Тогда для производных будем иметь

(5.11)

После подстановки (5.10) и (5.11) в (5.9) может быть получено разложение невязки по степеням h:

(5.12)

Отсюда для того, чтобы невязка имела порядок , должны выполняться условия

(5.13)

Поскольку , то первые два условия должны выполняться всегда. Они образуют так называемое условие согласованности.

Найдем явный двушаговый метод максимально возможного порядка. Явный двушаговый метод можно представить в общем виде

Из (5.13) выпишем первые четыре соотношения:

Решая эту систему, получаем . Пятое соотношение в (5.13):

при найденных коэффициентах уже не выполняется. Поэтому двушаговый метод с полученными нами коэффициентами

(5.14)

будет иметь третий порядок.