11 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Многие модели динамических процессов основаны на обыкновенных дифференциальных уравнениях. Подавляющая часть из них не интегрируется аналитически. Поэтому для решения уравнений прибегают к приближенным методам. В последнее время главным образом за счет бурного развития компью¬терных технологий все чаще применяются численные методы интегрирования. Рассмотрим основные принципы построения некоторых широко используемых методов типа Рунге-Кутты и Адамса.

Известно, что любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Поэтому сосредоточим наше внимание именно на этих уравнениях.

Пусть требуется решить дифференциальное уравнение первого порядка

с заданной функцией ƒ и начальным условием

Здесь штрих означает полную производную по независимой переменной t.

Дифференциальное уравнение (11.1) вместе со своим начальным условием (11.2) составляют задачу Коши. Существует множество различных методов для решения дифференциальных уравнений, однако в нашем курсе мы ограничимся лишь методами Рунге-Кутты.