ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

11.3 Методы Адамса

Методы Рунге-Кутты — одношаговые: в них для получения решения на шаге требуется только одно решение предыдущего шага. Многошаговые методы в отличие от одношаговых используют несколько решений, вычисленных на предыдущих шагах. В начале интегрирования, когда известно только одно решение (начальное условие), первые (стартовые) решения для многошаговых методов, как правило, вычисляют с помощью одношаговых методов Рунге-Кутты. Затем на каждом следующем шаге выполняют многошаговую процедуру интегрирования.

Многошаговые методы появились гораздо раньше, чем методы Рунге-Кутты. Впервые их получил Адаме еще в 1855 г. Тем же способом, что и Адамc, выведем первое семейство многошаговых методов.

Предположим, для задачи Коши (2.7):

нам известны первые n + 1 решений на равномерной сетке с шагом h. Тогда для шага n + 1 формально решение можно представить как

Заменим подынтегральную функцию на ее интерполирующий полином Ньютона, полученного по узловым значениям :

где разделенные разности вычисляются по формулам (7.10). Тогда численный аналог (11.17) будет

Согласно (11.19) для n = 0, 1, 2 получаем следующие явные формулы Адамса:

Формулы Адамса получаются при интегрировании интерполяционного многочлена (11.18) от t_n до t_n+1 т-е- вне интервала интерполяции. Однако, как мы знаем, вне этого интервала интерполяционный многочлен обычно дает довольно плохое приближение. Таким образом, явные методы Адамса не очень точны. Чтобы разрешить эту проблему, Адаме предложил для интерполяции использовать значение f_n+1 вместо f₀. В итоге, он получил неявные методы. Приведем первые из них для n = 0,1:

Итак, любой s-шаговый метод Адамса можно представить в общем виде

где b_i — постоянные метода. Если b_i = 0, метод — явный, иначе — неявный. Порядок метода определяется точностью интерполирующей формулы (11.18). В общем случае явный метод (11.20) имеет порядок р = s, неявный — р = s + 1.