6.3. Проекционный метод

Для сохранения интегралов систем дифференциальных уравнений часто применяют так называемый проекционный метод, который, по-видимому, впервые предложил П. Накози в 1971 г. Заметим, что исследуемая нами ранее система (6.5) вместе с интегральным соотношением (6.6) является частным случаем дифференциально-алгебраических систем уравнений, которые имеют вид

где в качестве алгебраического уравнения обычно выступают интегралы системы дифференциальных уравнений либо налагаемые на нее связи. Рассмотрим проекционный метод на примере этой системы.

Идея метода состоит в том, чтобы после каждой стандартной процедуры интегрирования на шаге вносить в численное решение поправки за отклонение относительно , т.е. чтобы

С точностью до малых первого порядка имеем

(6.12)

Чтобы обеспечить наименьшую величину поправки в соответствии с (6.12), ее направляют вдоль нормали к поверхности g(x) в точке , представляя, таким образом, в виде

(6.13)

Коэффициент α определяется после подстановки (6.13) в (6.12). В итоге будем иметь поправку

(6.14)

Поскольку (6.14) получается из приближенного соотношения (6.12), то исправленное решение может еще не удовлетворять алгебраическому уравнению. В этом случае следует повторять процедуру уточнения решения (6.14) до тех пор, пока поправка не станет достаточно малой.

Интересно заметить, что если мы выполним в (6.10) приближенную замену

то получим коррекцию проекционного метода (6.14) применительно к дифференциально-алгебраической системе гармонического осциллятора (6.5) и (6.6).