3.8. Порядок и шаг интегрирования при компьютерной реализации метода

Теоретически совместное увеличение порядка и уменьшение шага метода неограниченно повышает методическую точность численных результатов интегрирования. Однако при компьютерной реализации в арифметике с определенной точностью вследствие ошибок округления существуют такие значения параметров интегрирования, которые дают предельно высокую методическую точность ввиду того, что методические ошибки становятся соизмеримыми с ошибками округления, и в этом случае не имеет смысла предпринимать какие-либо дальнейшие попытки получить более высокую точность численного интегрирования.

Получим оценки оптимальной пары порядок-шаг интегрирования применительно к численному решению дифференциальных уравнений круговой двумерной задачи двух тел:

Здесь и — векторы положения и скорости соответственно, а — гравитационный параметр. Поскольку , будем полагать, что величина , т.е. решение описывается уравнениями гармонического осциллятора с частотой и может быть записано в виде

(*)

Оценим методическую ошибку по главному члену погрешности 2.5:

(*)

где использована формула . Согласно формулам методов Рунге − Кутты ошибку округления можно оценить как

(**)

где — машинное эпсилон.

Очевидно, что не имеет смысла выбирать такие шаг и порядок интегрирования, при которых методическая ошибка будет меньше ошибки округления. Из условия получим отношение между оптимальными параметрами интегрирования и

(***)

где — шаг по долготе , соответствующий шагу .

Отношение (***) дает нижнюю границу для шага , в то время как для неявных методов имеет место верхняя граница, задаваемая условием (3.38). Если положить, что (в действительности максимум близок к единице), то получим следующее ограничение на шаг интегрирования или . Оценим постоянную Липшица для исследуемой задачи.

Рассмотрим отношение

где — всевозможные разности векторов в соответсвующих переменных. Принимая , где , будем иметь

Отсюда нетрудно видеть, что все значения отношения лежат между 1 и . Следовательно, согласно (1.9) в качестве постоянной Липшица можно выбрать . Тогда получаем верхнюю границу шага

Таким образом, в лучшем случае, а именно при , когда верхняя граница максимальна, шаг интегрирования должен удовлетворять неравенствам

Очевидно, условие

означает, что порядок метода завышен и использование такого метода при вычислениях в арифметике с точностью не разумно в том смысле, что ту же точность результатов интегрирования можно получить с использованием методов более низких порядков. Оптимальные порядки неявных методов Рунге − Кутты для различных , соответствующих одинарной, двойной, расширенной и четверной точности, представлены в таблице. Хотя следует иметь в виду, что эти порядки получены для задачи с . В ином случае они могут быть меньше.